海盗分赃题–解读
星期二, 2008-10-28 | Author: liyz | JAVA-and-J2EE | 4,206 views
数学的逻辑有时会导致看来十分怪异的结论。一般的规则是,如果逻辑推理没有漏洞,
那么结论就必定站得住脚,即使它与你的直觉矛盾。 1998年9月,加利福尼亚州帕洛阿
尔托的Stephen M. Omohundro寄给我一道难题,它恰好就属于这一类。这难题已经流传
了至少十年,但是Omohundro对它作了改动,使它的逻辑问题变得分外复杂了。
先来看看此难题原先的形状。10名海盗抢得了窖藏的100块金子,并打算瓜分这些
战利品。这是一些讲民主的海盗(当然是他们自己特有的民主),他们的习惯是按下面
的方式进行分配:最厉害的一名海盗提出分配方案,然后所有的海盗(包括提出方案者
本人)就此方案进行表决。如果50%或更多的海盗赞同此方案,此方案就获得通过并据
此分配战利品。否则提出方案的海盗将被扔到海里,然后下提名最厉害的海盗又重复上
述过程。
所有的海盗都乐于看到他们的一位同伙被扔进海里,不过,如果让他们选择的话,
他们还是宁可得一笔现金。他们当然也不愿意自己被扔到海里。所有的海盗都是有理性
的,而且知道其他的海盗也是有理性的。此外,没有两名海盗是同等厉害的——这些海
盗按照完全由上到下的等级排好了座次,并且每个人都清楚自己和其他所有人的等级。
这些金块不能再分,也不允许几名海盗共有金块,因为任何海盗都不相信他的同伙会遵
守关于共享金块的安排。这是一伙每人都只为自己打算的海盗。最凶的一名海盗应当提
出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子呢?
为方便起见,我们按照这些海盗的怯懦程度来给他们编号。最怯懦的海盗为1号海
盗,次怯懦的海盗为2号海盗,如此类推。这样最厉害的海盗就应当得到最大的编号,
而方案的提出就将倒过来从上至下地进行。
分析所有这类策略游戏的奥妙就在于应当从结尾出发倒推回去。游戏结束时,你容
易知道何种决策有利而何种决策不利。确定了这一点后,你就可以把它用到倒数第2次
决策上,如此类推。如果从游戏的开头出发进行分析,那是走不了多远的。其原因在于
,所有的战略决策都是要确定:“如果我这样做,那么下一个人会怎样做?”
因此在你以下海盗所做的决定对你来说是重要的,而在你之前的海盗所做的决定并
不重要,因为你反正对这些决定也无能为力了。
记住了这一点,就可以知道我们的出发点应当是游戏进行到只剩两名海盗——即1
号和2号——的时候。这时最厉害的海盗是2号,而他的最佳分配方案是一目了然的:
100块金子全归他一人所有,1号海盗什么也得不到。由于他自己肯定为这个方案投赞成
票,这样就占了总数的50%,因此方案获得通过。
现在加上3号海盗。1号海盗知道,如果3号的方案被否决,那么最后将只剩2个海盗
,而1号将肯定一无所获——此外,3号也明白1号了解这一形势。因此,只要3号的分配
方案给1号一点甜头使他不至于空手而归,那么不论3号提出什么样的分配方案,1号都
将投赞成票。因此3号需要分出尽可能少的一点金子来贿赂1号海盗,这样就有了下面的
分配方案: 3号海盗分得99块金子,2号海盗一无所获,1号海盗得1块金子。
4号海盗的策略也差不多。他需要有50%的支持票,因此同3号一样也需再找一人做
同党。他可以给同党的最低贿赂是1块金子,而他可以用这块金子来收买2号海盗。因为
如果4号被否决而3号得以通过,则2号将一文不名。因此,4号的分配方案应是:99块金
子归自己,3号一块也得不到,2号得1块金子,1号也是一块也得不到。
5号海盗的策略稍有不同。他需要收买另两名海盗,因此至少得用2块金子来贿赂,
才能使自己的方案得到采纳。他的分配方案应该是:98块金子归自己,1块金子给3号,
1块金子给1号。
这一分析过程可以照着上述思路继续进行下去。每个分配方案都是唯一确定的,它
可以使提出该方案的海盗获得尽可能多的金子,同时又保证该方案肯定能通过。照这一
模式进行下去,10号海盗提出的方案将是96块金子归他所有,其他编号为偶数的海盗各
得1块金子,而编号为奇数的海盗则什么也得不到。这就解决了10名海盗的分配难题。
Omohundro的贡献是他把这一问题扩大到有500名海盗的情形,即500名海盗瓜分100
块金子。显然,类似的规律依然成立——至少是在一定范围内成立。事实上,前面所述
的规律直到第200号海盗都成立。 200号海盗的方案将是:从1到199号的所有奇数号的
海盗都将一无所获,而从2到198号的所有偶数号海盗将各得1块金子,剩下的1块金子归
200号海盗自己所有。
乍看起来,这一论证方法到200号之后将不再适用了,因为201号拿不出更多的金子
来收买其他海盗。但是即使分不到金子,201号至少还希望自己不会被扔进海里,因此
他可以这样分配:给1到199号的所有奇数号海盗每人1块金子,自己一块也不要。
202号海盗同样别无选择,只能一块金子都不要了——他必须把这100块金子全部用
来收买100名海盗,而且这100名海盗还必须是那些按照201号方案将一无所获的人。由
于这样的海盗有101名,因此202号的方案将不再是唯一的——贿赂方案有101种。
203号海盗必须获得102张赞成票,但他显然没有足够的金子去收买101名同伙。因
此,无论提出什么样的分配方案,他都注定会被扔到海里去喂鱼。不过,尽管203号命
中注定死路一条,但并不是说他在游戏进程中不起任何作用。相反,204号现在知道,
203号为了能保住性命,就必须避免由他自己来提出分配方案这么一种局面,所以无论
204号海盗提出什么样的方案,203号都一定会投赞成票。这样204号海盗总算侥幸拣到
一条命:他可以得到他自己的1票、203号的1票、以及另外100名收买的海盗的赞成票,
刚好达到保命所需的50%。获得金子的海盗,必属于根据202号方案肯定将一无所获的那
101名海盗之列。
205号海盗的命运又如何呢?他可没有这样走运了。他不能指望203号和204号支持
他的方案,因为如果他们投票反对205号方案,就可以幸灾乐祸地看到205号被扔到海里
去喂鱼,而他们自己的性命却仍然能够保全。这样,无论205号海盗提出什么方案都必
死无疑。206号海盗也是如此——他肯定可以得到205号的支持,但这不足以救他一命。
类似地,207号海盗需要104张赞成票——除了他收买的100张赞成票以及他自己的1张赞
成票之外,他还需3张赞成票才能免于一死。他可以获得205号和206号的支持,但还差
一张票却是无论如何也弄不到了,因此207号海盗的命运也是下海喂鱼。
208号又时来运转了。他需要104张赞成票,而205、206、207号都会支持他,加上
他自己一票及收买的100票,他得以过关保命。获得他贿赂的必属于那些根据204号方案
肯定将一无所获的人(候选人包括2到200号中所有偶数号的海盗、以及201、203、204
号)。
现在可以看出一条新的、此后将一直有效的规律:那些方案能过关的海盗(他们的
分配方案全都是把金子用来收买100名同伙而自己一点都得不到)相隔的距离越来越远
,而在他们之间的海盗则无论提什么样的方案都会被扔进海里——因此为了保命,他们
必会投票支持比他们厉害的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括
201、202、204、208、216、232、264、328、456号,即其号码等于200加2的某一方幂
的海盗。
现在我们来看看哪些海盗是获得贿赂的幸运儿。分配贿赂的方法是不唯一的,其中
一种方法是让201号海盗把贿赂分给1到199号的所有奇数编号的海盗,让202号分给2到
200号的所有偶数编号的海盗,然后是让204号贿赂奇数编号的海盗,208号贿赂偶数编
号的海盗,如此类推,也就是轮流贿赂奇数编号和偶数编号的海盗。
结论是:当500名海盗运用最优策略来瓜分金子时,头44名海盗必死无疑,而456号
海盗则给从1到199号中所有奇数编号的海盗每人分1块金子,问题就解决了。由于这些
海盗所实行的那种民主制度,他们的事情就搞成了最厉害的一批海盗多半都是下海喂鱼
,不过有时他们也会觉得自己很幸运——虽然分不到抢来的金子,但总可以免于一死。
只有最怯懦的200名海盗有可能分得一份脏物,而他们之中又只有一半的人能真正得到
一块金子,的确是怯懦者继承财富。
文章作者: liyz
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